Könnyü László életének első harminc évét szülőhazájában, Magyarországon töltötte. 1914. február 28-án született Tamásiban. Tanárnak tanult, általános iskolai tanári diplomáját 1933-ban Baján, középiskolai tanári diplomáját 1944-ben, Szegeden szerezte meg. 1945-ben Magyarországról Ausztriába utazott, ahol négy évig dolgozott igazgatóként egy menekültek számára alapított iskolában. 1949-ben pedig az Egyesült Államokba vándorolt, ahol először orgonistaként alkalmazták Jefferson városában, Missouriban. 1954-ben a st. louisi zenei és művészeti egyetemre járt. Ezalatt laboránsként dolgozott a washingtoni egyetemen mindaddig, amíg 1955-ben egy térképészi állásajánlatot kapott a Defense Mapping Agency-től, St. Louisban. 1957-ben térképész diplomát szerzett, majd folytatta tanulmányait a st. louisi egyetemen, ahol a földrajztudományok magiszterévé avatták. 1990-ben, miután enyhült a légkör Kelet-Európában, Könnyü néprajzból kitűnő eredménnyel (Summa Cum Laude) szerzett Ph.D. minősítést a budapesti Eötvös Lóránd Tudományegyetemen.
Gelencsér Erzsébettel kötött házasságából három gyermekük született (Ernő, József és Gabriella).
Könnyü László 1992. február 24-én halt meg St. Louisban.

Több adománnyal gyarapította Tamási közgyűjteményeit: 1978-ban a városnak értékes képzőművészeti alkotásokat - egyebek közt a Tamási Galériában látható Dürer-, Renoir-, Dalí-, Vasarely-műveket -, a városi könyvtárnak könyvritkaságokat adományozott.
Nevét 1999. június 5-én vette fel Tamási város szépen felújított könyvtára.

Kitüntetések és tagságok: Dékáni kitüntetés a St. Louis egyetemen, a T. S. Eliot társaság alapítója, a St. Louis Költészeti Központ hajdani elnöke, a Missouri írói Egyesület korábbi alelnöke és igazgatója, a Nemzetközi Költők Akadémiájának tagja (Cambridge, Anglia), a nemzetközi P.E.N. klub tagja (New York), a Magyar Nemzetközi Filológiai Társulat tagja (Budapest), Amerikai Műfordítók Társulata, irodalmi aranyérem az Árpád Akadémián, Clevelandben; XI. St. Louis érem a St. Louis Egyetemen; a termini művészeti egyetem kitüntetése Olaszországban, stb.
Könnyü László próbálta feléleszteni a magyarországi kultúrát az Egyesült Államokban, és elősegíteni a két kultúra közti összefogást magyar irodalmi, művészeti és tudományos művek angol nyelvű bemutatásával, valamint az amerikai irodalom, művészet és tudomány magyarra fordításával. Szerkesztője volt a St. Louis és Környéke című magyar hetilapnak (1957-58), az Amerikai-Magyar Szemlének (1963-74) és a Magyar melódiák című rádióműsornak (1952-58).

További információk: Könnyü László hagyatéka Tamásiban